{"id":1162,"date":"2024-09-05T22:25:42","date_gmt":"2024-09-05T20:25:42","guid":{"rendered":"https:\/\/site.ellistat.com\/?p=1162"},"modified":"2024-10-23T15:22:55","modified_gmt":"2024-10-23T13:22:55","slug":"die-tests-auf-normalitat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clooma.ai\/de\/die-tests-auf-normalitat\/","title":{"rendered":"Tests auf Normalit\u00e4t"},"content":{"rendered":"<p>Um die Normalverteilung zu testen, gibt es verschiedene Tests, mit denen die Annahme, dass die Verteilung der M\u00fcnzen einer Normalverteilung folgt, best\u00e4tigt oder verworfen werden kann. Die \u00fcblicherweise verwendeten Tests sind :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Der Chi-Quadrat-Test<\/li>\n\n\n\n<li>Der Anderson-Darling-Test<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Normalit\u00e4tstest mit dem Chi2-Test<\/h2>\n\n\n\n<p>Um die Normalverteilung einer Verteilung zu \u00fcberpr\u00fcfen, w\u00e4re unsere erste Intuition, das Histogramm der Verteilung der beobachteten Variablen zu zeichnen. Dann w\u00fcrden wir vergleichen, ob dieses Histogramm mehr oder weniger der\u00a0<a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_gaussienne\">Gauss-Kurve<\/a> \u00fcblich.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/chi21.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1164\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Genau das ist das Prinzip des Chi2-Tests. Er f\u00fcgt dieser Intuition eine kleine Dosis statistischer Berechnung hinzu. Das Prinzip ist wie folgt:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/chi22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1165\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">d_i=\\frac{(N_i-NP_i)^{2}}{NP_i}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>F\u00fcr jeden Balken im Histogramm kann man berechnen :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Ni: Die Anzahl der tats\u00e4chlich beobachteten R\u00e4ume (hier 10)<\/li>\n\n\n\n<li>Npi: Die Anzahl der St\u00fccke, die theoretisch beobachtet w\u00fcrde, wenn die Verteilung normal w\u00e4re (hier 9.2).<\/li>\n\n\n\n<li>di steht f\u00fcr die \"Anzahl der falsch geordneten Teile\".<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Anschlie\u00dfend berechnet man<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">D \\cum_{}^{}D_i<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>und es stellt sich heraus, dass D einer Verteilungsregel der du mit n-2 Freiheitsgraden folgt (N ist die Anzahl der Klassen). Infolgedessen k\u00f6nnen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass wir einen solchen Wert erhalten.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"197\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/courbe-chi2.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1166\" srcset=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/courbe-chi2.jpg 300w, https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/courbe-chi2-18x12.jpg 18w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Wenn wir zum Beispiel f\u00fcr ein Histogramm mit 7 Klassen einen D-Wert von 11,07 berechnet haben, berechnen wir, dass es 5% gibt, einen solchen Wert oder mehr zu erreichen, wenn die Verteilung der Teile tats\u00e4chlich normalverteilt ist.<\/p>\n\n\n\n<p>Das Testergebnis lautet also 5% und man schlie\u00dft in der Regel wie folgt:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Wenn X &lt; 5%: Es wird nicht davon ausgegangen, dass die Verteilung der Variablen einer Normalverteilung folgt.<\/li>\n\n\n\n<li>Wenn X &gt;= 5%: Die Normalit\u00e4tsannahme wird akzeptiert, es kann davon ausgegangen werden, dass die Verteilung einer Normalverteilung folgt.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Was tun, wenn es nicht normal ist<\/h2>\n\n\n\n<p>Der zentrale Grenzwertsatz sagt uns :<\/p>\n\n\n\n<p>Jedes System, das sich aus der Summe vieler voneinander unabh\u00e4ngiger Faktoren gleicher Gr\u00f6\u00dfenordnung ergibt, erzeugt eine Verteilungsregel, die zu einer Normalverteilung tendiert.<\/p>\n\n\n\n<p>Man kann aber auch umgekehrt argumentieren. Wenn wir eine Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit beobachten, die nicht normal ist, dann ist eine der Annahmen des Theorems ung\u00fcltig:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Fall 1: Das System ist nicht das Ergebnis der Summe vieler Faktoren: Es ist vielleicht das Produkt vieler Faktoren oder etwas anderes. In diesem Fall kann das Verteilungsgesetz unterschiedlich sein und in der Regel wird durch eine Transformation (z. B. indem man den Log des Ergebnisses nimmt) wieder eine Normalverteilung erreicht.<\/li>\n\n\n\n<li>Fall 2: Die Faktoren sind nicht unabh\u00e4ngig voneinander<\/li>\n\n\n\n<li>Fall 3: Die Faktoren sind nicht von gleicher Gr\u00f6\u00dfenordnung :\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Ein Faktor ist vor allen anderen Faktoren vorherrschend. In diesem Fall gilt es, diesen Faktor zu finden, da er allein eine bedeutende Quelle der Variabilit\u00e4t erzeugt.<\/li>\n\n\n\n<li>Ein Ausrei\u00dfer verschmutzt die Verteilung. In diesem Fall sollte die Ursache f\u00fcr den Ausrei\u00dfer gefunden und der Wert beseitigt werden, wenn die Ursache erkl\u00e4rt werden konnte.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>In beiden F\u00e4llen ist es nicht sinnvoll, ein Verteilungsgesetz zu finden, das der beobachteten Variabilit\u00e4t entspricht. Denn dieses Verteilungsgesetz wird im Laufe der Zeit nicht wiederholbar sein, da es auf einen einzigen Parameter zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, es hat also keine pr\u00e4diktive Eigenschaft.<\/p>\n\n\n\n<p>Wenn der Ursprung der Nichtnormalit\u00e4t auf Fall 1 zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, m\u00fcssen Sie von nun an das entsprechende Verteilungsgesetz finden, insbesondere wenn Sie den Prozentsatz der Werte au\u00dferhalb der Toleranz vorhersagen m\u00f6chten. Dazu k\u00f6nnen Sie die Vorschl\u00e4ge f\u00fcr Verteilungsgesetze am unteren Rand des Fensters in&nbsp;<a href=\"https:\/\/clooma.ai\/de\/solutions-data-analysis\/\">das Modul Data Analysis<\/a>&nbsp;um zu sehen, ob eine der Verteilungen die beobachteten Daten wiedergeben kann :<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Um die Normalverteilung zu testen, gibt es verschiedene Tests, mit denen die Annahme, dass die Verteilung der M\u00fcnzen einer Normalverteilung folgt, best\u00e4tigt oder verworfen werden kann. 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