{"id":2676,"date":"2024-10-15T10:20:37","date_gmt":"2024-10-15T08:20:37","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&p=2676"},"modified":"2024-10-24T16:26:36","modified_gmt":"2024-10-24T14:26:36","slug":"zentraler-grenztheorem","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/de\/padagogische-ressource\/zentraler-grenztheorem\/","title":{"rendered":"Zentraler Grenzwertsatz"},"content":{"rendered":"

Um den zentralen Grenzwertsatz zu erkl\u00e4ren, nehmen wir Folgendes als Ausgangspunkt. Gott w\u00fcrfelt nicht, sagte einmal A.Einstein<\/a> \u00fcber die Quantenmechanik und stellte damit eine der Grundlagen der modernen Physik in Frage. Die Experimente des 20. Jahrhunderts haben ihn jedoch L\u00fcgen gestraft und es ist mittlerweile anerkannt, dass alle Observablen in dieser Welt nach Verteilungswahrscheinlichkeiten regieren und der Heisenbergschen Unsch\u00e4rferelation unterliegen. Die Welt ist zuf\u00e4llig\u00a0<\/p>\n\n\n\n

Das Verst\u00e4ndnis von Zufallsph\u00e4nomenen ist grundlegend, um zu verstehen, wie die Welt funktioniert. Nun kann man ein zentrales Theorem der statistischen Datenanalyse mathematisch beweisen: das zentrale Grenztheorem. <\/p>\n\n\n\n

Jedes System, das sich aus der Summe vieler voneinander unabh\u00e4ngiger Faktoren gleicher Gr\u00f6\u00dfenordnung ergibt, erzeugt eine Verteilungsregel, die zu einer Normalverteilung tendiert. <\/p>\n\n\n\n

Dieses Theorem zeigt die Bedeutung der Normalverteilung bei der Analyse der Variabilit\u00e4t einer Observable. Um es zu veranschaulichen, werfen wir einen W\u00fcrfel 1000 Mal hintereinander und beobachten die Verteilung der Ergebnisse : <\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Die Verteilung folgt einer Gleichverteilung, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass der W\u00fcrfel auf 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 f\u00e4llt, ist gleich gro\u00df. Das Verteilungsgesetz \u00e4hnelt nicht der Normalverteilung. <\/p>\n\n\n\n

Lassen Sie uns diesmal 10 W\u00fcrfel 1000 Mal hintereinander werfen und beobachten, wie sich die Ergebnisse der Summe dieser 10 W\u00fcrfel verteilen: <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Obwohl jeder der W\u00fcrfel einem Gleichverteilungsgesetz folgt, folgt die Verteilung der Summe der zehn W\u00fcrfel einer Glockenkurve. Diese Verteilung ist einer Normalverteilung sehr \u00e4hnlich. <\/p>\n\n\n\n

Wenn wir n\u00e4mlich dem folgen, was der zentrale Grenzwertsatz : <\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Wir haben ein System <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
      \n
    • Ergibt sich aus der Summe vieler Faktoren (hier die Summe von 10 W\u00fcrfeln). <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
        \n
      • Unabh\u00e4ngig voneinander (das Ergebnis eines W\u00fcrfels hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen W\u00fcrfels) <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
          \n
        • Die Gr\u00f6\u00dfenordnung der einzelnen W\u00fcrfel ist gleichwertig <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

          Die von diesem System erzeugte Verteilung tendiert tats\u00e4chlich zu einer Normalverteilung. Dies ist alles in allem recht intuitiv. Wenn man 10 W\u00fcrfel wirft, gibt es nur eine einzige Kombination, die das Ergebnis 10 ergibt (alle W\u00fcrfel sind auf 1 gefallen), w\u00e4hrend es Tausende von Kombinationen gibt, die das Ergebnis 35 ergeben. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnisse nahe 35 auftreten, viel gr\u00f6\u00dfer als die Wahrscheinlichkeit, dass extreme Ergebnisse wie 10 oder 60 auftreten. Die resultierende Verteilungsregel entspricht daher in etwa einer Normalverteilung. <\/p>\n\n\n\n

          Dies ist im Allgemeinen der Fall. Die Systeme, die wir normalerweise beobachten, weisen diese Art der Verteilung auf, da sie die Annahmen des zentralen Grenzwertsatzes erf\u00fcllen. Nehmen wir als Beispiel die Bearbeitung eines Werkst\u00fccks : <\/p>\n\n\n\n

            \n
          • Es handelt sich um ein System, das ein Merkmal hervorbringt. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
              \n
            • Die Abweichung des Merkmals vom Ziel ergibt sich aus der Summe vieler Faktoren (Vibrationen, H\u00e4rte des Materials, Fehler bei der Positionierung des Werkzeugs usw....). <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                \n
              • Die Faktoren sind unabh\u00e4ngig voneinander (die Vibrationen der Maschine haben keinen Einfluss auf die H\u00e4rte des Materials) <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
                  \n
                • Die Gr\u00f6\u00dfenordnung dieser Abweichungen ist \u00e4quivalent <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

                  Die Verteilung der M\u00fcnzen tendiert also zu einer Normalverteilung. Das ist das, was man beobachtet, wenn man eine Reihe von M\u00fcnzen misst. <\/p>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2676","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"\nTh\u00e9or\u00e8me central limite - Clooma<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tout syst\u00e8me, r\u00e9sultant de la somme de nombreux facteurs, ind\u00e9pendants les uns des autres g\u00e9n\u00e8re une loi normale.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/clooma.ai\/de\/padagogische-ressource\/zentraler-grenztheorem\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Th\u00e9or\u00e8me central limite - 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