{"id":2682,"date":"2024-10-15T10:49:52","date_gmt":"2024-10-15T08:49:52","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2682"},"modified":"2024-10-24T16:33:55","modified_gmt":"2024-10-24T14:33:55","slug":"statistische-parameter-der-variabilitat","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/de\/padagogische-ressource\/statistische-parameter-der-variabilitat\/","title":{"rendered":"Statistische Parameter der Variabilit\u00e4t"},"content":{"rendered":"<p>In der Statistik bewertet ein Streuungsindikator die Variabilit\u00e4t der Werte in einem Datensatz. Er ist immer eine positive Zahl und sein Wert steigt, je weiter die Daten voneinander entfernt sind. Zu den h\u00e4ufig verwendeten Streuungsma\u00dfen f\u00fcr statistische Variabilit\u00e4tsparameter geh\u00f6ren die Varianz, die Standardabweichung, die Streuung, die Ausdehnung und der Interquartilsabstand.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Umfang :&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Die Spannweite in der Statistik ist das intuitivste Ma\u00df f\u00fcr die Variabilit\u00e4t der Daten in einem Datensatz. In der Statistik wird sie h\u00e4ufig durch den Buchstaben R symbolisiert. Sie stellt die Differenz zwischen dem h\u00f6chsten und dem niedrigsten Wert in diesem Datensatz dar. Mit anderen Worten: Die Spannweite gibt die gesamte Reichweite der beobachteten Werte an.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Um den Umfang eines Datensatzes zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Finde den Maximalwert (\ud835\udc4b\ud835\udc5a\ud835\udc4e\ud835\udc65Xmax) in dem Datensatz.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Finde den Minimalwert (\ud835\udc4b\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc5bXmin) in dem Datensatz.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Berechne den Umfang \ud835\udc45=\ud835\udc4b\ud835\udc5a\ud835\udc4e\ud835\udc65-\ud835\udc4b\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc5bR=Xmax-Xmin&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>Die Spannweite kann jedoch durch Extremwerte (oder Ausrei\u00dfer) erheblich beeinflusst werden, wodurch ihre Interpretation manchmal verzerrt wird. Daher werden h\u00e4ufig andere Streuungsma\u00dfe wie der Interquartilsabstand oder die Standardabweichung in Verbindung mit der Spannweite verwendet, um ein genaueres Bild der Variation der Daten zu erhalten.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Der Interquartilabstand&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Der Interquartilsabstand ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung in der Statistik. Er stellt die Differenz zwischen dem dritten Quartil (\ud835\udc443) und dem ersten Quartil (\ud835\udc441) eines aufsteigend sortierten Datensatzes dar. Die Quartile teilen die Daten in vier gleiche Teile, von denen jeder 25% der Beobachtungen repr\u00e4sentiert. Das folgende Boxplot veranschaulicht die Positionen von \ud835\udc443 und \ud835\udc441.&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-6.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2683\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Um den Interquartilabstand zu berechnen :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Finden Sie das erste Quartil (\ud835\udc441Q1) : Dies ist der Wert, der die 25% von den niedrigsten Daten trennt.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Finden Sie das dritte Quartil (\ud835\udc443Q3) : Dies ist der Wert, der die 25% von den h\u00f6chsten Daten trennt.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Berechnen Sie den Umfang E=\ud835\udc443-\ud835\udc441=Q3-Q1&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>Ein gro\u00dfer Wert f\u00fcr den Interquartilsabstand zeigt an, dass der Median (der Wert in der Mitte des sortierten Datensatzes) von stark gestreuten Werten umgeben ist, w\u00e4hrend ein kleiner Wert f\u00fcr den Interquartilsabstand anzeigt, dass die Werte um den Median enger gruppiert sind. Der Interquartilsabstand ist daher weniger anf\u00e4llig f\u00fcr extreme Werte als die Spannweite, indem er einen besseren Hinweis auf die Streuung des Kerndatensatzes liefert.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Varianz :<\/h2>\n\n\n\n<p>In der Statistik ist die Varianz ein Streuungsma\u00df, das die Abweichung zwischen jedem einzelnen Wert eines Datensatzes und dem Mittelwert dieses Datensatzes quantifiziert. Sie gibt an, wie stark die Werte des Datensatzes um den Mittelwert gestreut sind. Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Werte stark gestreut sind, w\u00e4hrend eine niedrige Varianz anzeigt, dass die Werte enger um den Mittelwert gruppiert sind.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Gleichung zur Berechnung der Varianz eines Datensatzes lautet wie folgt:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Wenn \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653,... ,\ud835\udc65\ud835\udc41x1, x2, x3,... ,xN die einzelnen Werte einer Population sind und \u00b5 der Mittelwert der Population ist, dann wird die Varianz der Population \ud835\udc49\ud835\udc4e\ud835\udc5f(\ud835\udc4b)=\ud835\udf0e2 wie folgt berechnet:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\sigma^{2}=\\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-\\mu)^{2}}{N}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Mit :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>N: die Gr\u00f6\u00dfe der Bev\u00f6lkerung&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>\u00b5: der Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>xi: der i-te Wert der Grundgesamtheit&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Im Fall einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung kann die Varianz (\u03c3\u00b2) auch mithilfe der Formel berechnet werden:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\sigma^2=\\int_{}^{}(x-\\mu)^2*<em>f(x)*<\/em>dx<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Mit :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>x: steht f\u00fcr die Zufallsvariable,&nbsp;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>\u03bc: ist der Mittelwert der Verteilung,&nbsp;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>f(x): ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Verteilung, und die Integration erfolgt \u00fcber den gesamten Raum der m\u00f6glichen Werte der Zufallsvariablen.&nbsp;&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Da in der Realit\u00e4t jedoch in den meisten F\u00e4llen eine Reihe von Werten der Gr\u00f6\u00dfe \"n\" (eine Stichprobe) vorliegt und der Populationsmittelwert oft unbekannt ist. Man berechnet daher eine N\u00e4herung der Varianz. Diese wird h\u00e4ufig durch den Begriff S\u00b2 symbolisiert. Die verwendete Berechnungsformel lautet wie folgt:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\sigma^{2}=\\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-\\mu)^{2}}{N-1}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Mit :&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>n: die Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>\ud835\udc65: der Mittelwert der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>xi: der i-te Wert in der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Warum durch n-1 teilen, wenn es sich um eine Stichprobe handelt?<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Diese Korrektur wird als Bessel-Korrektur bezeichnet. Der Grund f\u00fcr diese Korrektur ist, die potenzielle Verzerrung bei der Sch\u00e4tzung der Varianz aus der Stichprobe auszugleichen. Wenn wir durch n-1 teilen, erhalten wir eine unverzerrte Sch\u00e4tzung der Varianz der Grundgesamtheit. Diese Korrektur ist besonders wichtig bei kleinen Stichproben, wo die auf n basierende Varianzsch\u00e4tzung dazu neigt, die wahre Variabilit\u00e4t in der Population zu untersch\u00e4tzen.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Warum wird die Varianz nicht h\u00e4ufig zur Interpretation der Variabilit\u00e4t verwendet?<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Varianz ist ein wichtiges Ma\u00df f\u00fcr die Streuung von Daten, wird aber aus mehreren praktischen und interpretatorischen Gr\u00fcnden tendenziell weniger h\u00e4ufig verwendet als die Standardabweichung :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Zun\u00e4chst einmal ist die Varianz in Einheiten zum Quadrat der Originaldaten, was es schwierig macht, sie direkt zu interpretieren. (Wenn die individuellen Daten in Metern sind, wird die Varianz in Quadratmetern sein).&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Au\u00dferdem ist die Varianz anf\u00e4llig f\u00fcr Extremwerte, da sie die Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert impliziert, was ihre Darstellung der allgemeinen Streuung verzerren kann, insbesondere wenn Ausrei\u00dfer vorhanden sind.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Obwohl die Varianz statistisch gesehen grundlegend ist, wird die Standardabweichung bevorzugt, weil sie leichter zu interpretieren ist und ein genaueres Ma\u00df f\u00fcr die Streuung der Daten bietet.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Standardabweichung :<\/h2>\n\n\n\n<p>Die Standardabweichung einer Verteilung ist ein Merkmal der Streuung dieser Verteilung im Raum der reellen Zahlen. Je gr\u00f6\u00dfer die Standardabweichung, desto breiter ist die Streuung. Um die Standardabweichung zu berechnen, berechnen Sie einfach die Quadratwurzel der Varianz :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">S=\\sqrt{\\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-x)^{2}}{n-1}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>n: die Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>\ud835\udc65: der Mittelwert der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>xi: der i-te Wert in der Stichprobe&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td><img decoding=\"async\" alt=\"Ein automatisch generiertes Bild mit Diagramm, Plot, Screenshot, TextBeschreibung\" src=\"blob:https:\/\/clooma.ai\/a722977f-b3cb-4254-a9f6-c1afed6bbed8\">&nbsp;<\/td><td>\u00a0Standardabweichung der Maschine M1 \ud835\udc46=1\ud835\udc5a\ud835\udc5aS=1mm\u00a0\u00a0<br><br>\u00a0Standardabweichung der Maschine M2 \ud835\udc46=4\ud835\udc5a\ud835\udc5aS=4mm\u00a0\u00a0\u00a0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><figcaption class=\"wp-element-caption\">Verwendung der Software <a href=\"https:\/\/clooma.ai\/de\/solutions-data-analysis\/\">Ellistat Data Analysis<\/a>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Die Standardabweichung entspricht der Varianz, wird aber in derselben Einheit wie die Stichprobe ausgedr\u00fcckt. Sein Wert ist daher leichter interpretierbar.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Dispersion&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Die Standardabweichung ist mathematisch gesehen ein gutes Merkmal der Normalverteilung, hat aber keine wirklich intuitive Entsprechung. Daher zieht man es vor, den Begriff Streuung zu verwenden, der entspricht :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Streuung = Breite des Wertintervalls, in dem 99.73% der Werte beobachtet werden.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Im Falle einer Normalverteilung l\u00e4sst sich die Streuung einfach berechnen :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc37\ud835\udc56\ud835\udc60\ud835\udc5d\ud835\udc52\ud835\udc5f\ud835\udc60\ud835\udc56\ud835\udc5c\ud835\udc5b=6\u2217\ud835\udf0e<\/p>\n\n\n\n<p>Der Begriff der Streuung ist viel intuitiver als die Standardabweichung. Nehmen wir die folgenden Daten als Beispiel. Es handelt sich um eine Beobachtung von 1000 Daten mit einer Normalverteilung, dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-7.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2684\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Wenn wir die Streuung dieser Werte intuitiv charakterisieren wollen, w\u00e4ren wir eher versucht zu sagen, dass die Streuung der Werte um 6 herum liegt, da die beobachteten Werte zwischen -3 und +3 enthalten sind.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Unsere intuitive Definition von Streuung entspricht eigentlich der Spannweite einer Stichprobe (Spannweite = Max - Min). Die Spannweite als Merkmal einer Verteilung zu verwenden, ist jedoch statistisch nicht sinnvoll. Die Normalverteilung variiert n\u00e4mlich von -\u221e bis +\u221e , die Spannweite dieser Verteilung w\u00e4re also \u221e.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Streuung entspricht der intuitiven Definition von Variabilit\u00e4t und hat gleichzeitig eine statistische Bedeutung. Es handelt sich um das Intervall, in dem wir praktisch alle Werte beobachten werden, d. h. 99,73% der Werte.&nbsp;<\/p>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2682","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.9 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Param\u00e8tres statistiques de variabilit\u00e9 - Clooma<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"En statistique, un indicateur de dispersion \u00e9value la variabilit\u00e9 des valeurs dans un ensemble de donn\u00e9es.Il est toujours un nombre positif.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/clooma.ai\/de\/padagogische-ressource\/statistische-parameter-der-variabilitat\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Param\u00e8tres statistiques de variabilit\u00e9 - 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