Ein Konfidenzintervall ist ein plausibler Bereich von Werten f\u00fcr einen statistischen Parameter, der anhand einer Datenprobe gesch\u00e4tzt wird. Es vermittelt eine Vorstellung davon, wie genau unsere Sch\u00e4tzung des Parameters ist. Das Konfidenzintervall wird in der Regel mit einem zugeh\u00f6rigen Konfidenzniveau ausgedr\u00fcckt, das die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass das Intervall tats\u00e4chlich den wahren Parameter der Grundgesamtheit enth\u00e4lt. <\/p>\n\n\n\n
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Durchschnitt : <\/h2>\n\n\n\n
Das Konfidenzintervall des Mittelwerts ist ein statistisches Intervall, das eine plausible Sch\u00e4tzung des Intervalls liefert, in dem sich der wahre Mittelwert einer Population befindet. Es wird aus den Daten einer Stichprobe dieser Population konstruiert. <\/p>\n\n\n\n
Sicherlich ist die Bildung eines Konfidenzintervalls f\u00fcr den Mittelwert durch den zentralen Grenzwertsatz m\u00f6glich. Bei ausreichend gro\u00dfen Stichproben (n\u226530), unabh\u00e4ngig von der Verteilungsform der Grundgesamtheit, wenn mehrere Stichproben der Gr\u00f6\u00dfe \"n\" zuf\u00e4llig gezogen werden, werden die Mittelwerte dieser Stichproben \\\/left\\\/overline{X} \\c&H30D3F4&}<\/span> ann\u00e4hernd normalverteilt sind. Dadurch k\u00f6nnen zuverl\u00e4ssige Konfidenzintervalle konstruiert werden, um den wahren Durchschnitt der Bev\u00f6lkerung zu sch\u00e4tzen. <\/p>\n\n\n\n
Die Konstruktion des Konfidenzintervalls des Mittelwerts beruht auf der Verwendung der Student-t-Verteilung oder der Normalverteilung, je nachdem, wie gro\u00df die Stichprobe ist und wie viel wir \u00fcber die Standardabweichung der Grundgesamtheit wissen. <\/p>\n\n\n\n
Da es sich bei dieser Berechnung um eine N\u00e4herung handelt, ist es wichtig, die Genauigkeit dieser N\u00e4herung zu kennen. Um die Genauigkeit dieser N\u00e4herung zu bestimmen, berechnet man in der Regel das Intervall bei 95%. Dieses Intervall entspricht : <\/p>\n\n\n\n
Intervall bei 95% = Intervall, in dem es eine Chance von 95% gibt, dass der wahre Mittelwert der Verteilung darin liegt.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n
In der Statistik hei\u00dft 95% Konfidenz (1- \u03b1), sie ist komplement\u00e4r zum Risiko erster Art \u03b1=5%. Dieses Risiko stellt, die Chance dar, dass der Mittelwert der Verteilung au\u00dferhalb des Konfidenzintervalls liegt. <\/p>\n\n\n\n
So konstruiert man ein Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert : <\/p>\n\n\n\n
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Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung der Stichprobe der Gr\u00f6\u00dfe \"n\": Berechnen Sie anhand der Stichprobendaten den Mittelwert und die Standardabweichung der Stichprobe \\c&H30D3F4&}<\/span> und S. <\/li>\n\n\n\n
Auswahl des Konfidenzniveaus (1- \u03b1) : W\u00e4hlen Sie ein Konfidenzniveau, das oft in Prozent angegeben wird, z. B. 95% oder 99%. Ein Konfidenzniveau von 95% bedeutet, dass wir zu 95% darauf vertrauen, dass das Intervall, das wir konstruieren, den wahren Mittelwert der Population enthalten wird. <\/li>\n\n\n\n
Bestimmung des Intervalls: Verwenden Sie die Formel f\u00fcr das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert auf der Grundlage der entsprechenden Verteilung ( Student oder Normalverteilung) : \n
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Wenn Sie die Standardabweichung der Bev\u00f6lkerung \ud835\udf0e kennen, verwenden Sie die Normalverteilung : \n
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IC = \\c&H30D3F4&} \\underline{+}Z_{\\frac{a}{2}}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> wo:\n
\n
Zfrac{2}{a}<\/span> : ist die z-Punktzahl, die dem Vertrauensniveau entspricht. (Zweiseitig)<\/li>\n\n\n\n
n: ist die Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe. <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n
Wenn Sie die Standardabweichung der Population \ud835\udf0e nicht kennen, verwenden Sie die Student-Verteilung : \n
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IC = \\c&H30D3F4&} \\underline{+}t_{\\frac{a}{2}n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> wo:\n
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t_{{frac{a}}}<\/span>: ist die t-Punktzahl, die dem Konfidenzniveau entspricht und f\u00fcr n-1 Freiheitsgrade. <\/li>\n\n\n\n
n: ist die Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe. <\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
Das Konfidenzintervall des Mittelwerts gibt also einen Bereich von Werten an, innerhalb dessen wir zu einem bestimmten Vertrauensniveau (1-\ud835\udefc) darauf vertrauen, dass sich der wahre Mittelwert der Population \u00b5 befindet. Je h\u00f6her das Konfidenzniveau, desto breiter ist der Bereich, was ein h\u00f6heres Ma\u00df an Vertrauen in die Sch\u00e4tzung widerspiegelt. <\/p>\n\n\n\n
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Standardabweichung S <\/td>
Stichprobengr\u00f6\u00dfe n <\/td>
Vertrauen (1-\u03b1) <\/td><\/tr>
Breite des Konfidenzintervalls des Mittelwerts KI. <\/td>
Breite IC steigt, wenn die Standardabweichung steigt <\/td>
Breite IC nimmt ab, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe steigt <\/td>
Breite der KI nimmt zu, wenn das Vertrauen steigt <\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
Beispiel: Man m\u00f6chte wissen, wie man das Konfidenzintervall f\u00fcr den durchschnittlichen Zuckerverbrauch pro Familie bei 95% Konfidenzniveau berechnet. Es wurde eine Stichprobe von 18 Familien gezogen. Nachfolgend die Tabelle mit den Ergebnissen : <\/p>\n\n\n\n
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