{"id":2732,"date":"2024-10-17T11:04:40","date_gmt":"2024-10-17T09:04:40","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2732"},"modified":"2024-10-24T16:50:22","modified_gmt":"2024-10-24T14:50:22","slug":"wahrscheinlichkeitsgesetze","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/de\/padagogische-ressource\/wahrscheinlichkeitsgesetze\/","title":{"rendered":"Normalgesetz"},"content":{"rendered":"<p>In der Statistik ist die Normalverteilung (oder Normalverteilung) eine der wichtigsten und am h\u00e4ufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist auch unter der Bezeichnung Naturgesetz oder Gau\u00dfsche Verteilung bekannt, zu Ehren des Mathematikers <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Carl_Friedrich_Gauss\">Carl Friedrich Gauss<\/a> der sich eingehend mit seinen Eigenschaften befasst hat.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>Die Normalverteilung ist durch ihre symmetrische Glockenform gekennzeichnet, was bedeutet, dass sich die meisten Werte um den Mittelwert gruppieren und die Werte sich vom Mittelwert entfernen, wenn sie gr\u00f6\u00dfer oder kleiner werden. Die Normalverteilung wird durch zwei Parameter definiert:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Mittelwert (\u00b5): Dies ist die Mitte der Glocke und stellt den Wert dar, um den sich die anderen Werte gruppieren. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Standardabweichung (\u03c3) : Dies ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Streuung der Werte im Verh\u00e4ltnis zum Mittelwert. Je gr\u00f6\u00dfer die Standardabweichung, desto gr\u00f6\u00dfer ist die Streuung der Werte. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung ist durch die folgende mathematische Formel f\u00fcr eine Zufallsvariable gegeben:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2\\sigma^{2}}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Diese Verteilung hat mehrere wichtige Eigenschaften:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Symmetrie: Die Verteilung ist symmetrisch in Bezug auf ihren Mittelwert.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Glockenform: Die meisten Werte liegen in der N\u00e4he des Mittelwerts, und die Wahrscheinlichkeit von Extremwerten nimmt mit zunehmender Entfernung vom Mittelwert rasch ab.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>68-95-99.7 Regel: Etwa 68% der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99.7% innerhalb von drei Standardabweichungen.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Die Normalverteilung wird aufgrund ihrer bekannten mathematischen Eigenschaften und ihres h\u00e4ufigen Auftretens bei vielen nat\u00fcrlichen und experimentellen Ph\u00e4nomenen in vielen Bereichen der Statistik verwendet, u. a. bei der statistischen Inferenz, der Modellierung und dem Testen von Hypothesen.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2733\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Reduzierte zentrierte Normalverteilung<\/h2>\n\n\n\n<p>Die \"zentrierte reduzierte Normalverteilung\" bezieht sich auf eine standardisierte Normalverteilung, d. h. eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1. Dies ist eine der am h\u00e4ufigsten verwendeten Verteilungen in der Statistik.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Tats\u00e4chlich kann jede normale Variable in eine reduzierte zentrierte Normale umgewandelt werden, indem der Mittelwert der Variable subtrahiert und durch die Standardabweichung dividiert wird. Diese Normalisierung ist n\u00fctzlich, da sie den Vergleich von Variablen erm\u00f6glicht, die urspr\u00fcnglich unterschiedliche Einheiten oder Skalen haben k\u00f6nnen. Au\u00dferdem vereinfacht sie die Berechnungen in vielen statistischen Zusammenh\u00e4ngen.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>F\u00fcr eine Zufallsvariable X, die einer Normalverteilung mit einem Mittelwert \u03bc und einer Standardabweichung \u03c3 folgt. Die Normalisierung von X auf die reduzierte zentrierte Normalverteilung (oft als Z bezeichnet) erfolgt mithilfe der Formel :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Der Z-Wert stellt die Abweichung in Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert dar. Er kann positiv oder negativ sein.&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-11.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2735\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Ein Wert von Z=2, bedeutet, dass dieser Punkt \u00fcber dem Mittelwert \u00b5 liegt und die Abweichung von diesem 2 Standardabweichungen \u03c3 betr\u00e4gt.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Ein Wert von Z=-3.5, bedeutet, dass dieser Punkt unter dem Mittelwert \u00b5 liegt und die Abweichung von diesem 3.5 Standardabweichungen \u03c3 betr\u00e4gt.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Mit dieser Transformation werden wir in der Lage sein, die Tabelle der reduzierten zentrierten Normalverteilung zu verwenden. Mit dieser Tabelle k\u00f6nnen Sie die Werte der Verteilungsfunktion der Normalverteilung F(x) in Abh\u00e4ngigkeit vom Wert von Z bestimmen.&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">F(Z)=\\int_{-\\infty }^{Z}\\frac{1}{\\sqrt{2\\Pi}}e^{-\\frac{u^{2}}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Mit :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>F(Z): Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (oder reduzierten zentrierten Normalverteilung). Sie ist eine mathematische Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine Zufallsvariable, die einer Standardnormalverteilung folgt, kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc39(\ud835\udc4d)=\ud835\udc43(\ud835\udc67 \u2264 \ud835\udc4d)<\/p>\n\n\n\n<p>Der Wert von F(Z) liegt immer zwischen 0 und 1, da es sich um eine Wahrscheinlichkeit handelt.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Werte der Verteilungsfunktion F(Z) f\u00fcr die Standardnormalverteilung werden in vielen Bereichen der Statistik verwendet, um Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchzuf\u00fchren, z. B. bei Hypothesentests, Konfidenzintervallen, der Sch\u00e4tzung der Nicht\u00fcbereinstimmungsrate, der Sch\u00e4tzung der Prozesszuverl\u00e4ssigkeit und anderen statistischen Analysen.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Verteilungsfunktion F(Z) kann nicht in Form von Elementarfunktionen (wie Polynomen, Exponentialfunktionen oder trigonometrischen Funktionen) ausgedr\u00fcckt werden und erfordert oft die Verwendung von statistischen Tabellen oder Computersoftware zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitswerte, die mit bestimmten Werten von Z verbunden sind. Im Fall der Normalverteilung wird die Tabelle der reduzierten zentrierten Normalverteilung, auch Z -Tabelle genannt, zur Berechnung von F(Z) verwendet :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image.jpeg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2736\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Beispiel:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ermitteln Sie die Werte f\u00fcr die folgenden Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Normalverteilung :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651.55), \ud835\udc43(-2\u2264 \ud835\udc67 \u22641.55)&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>L\u00f6sung :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">Wahrscheinlichkeit&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640) = 0.5Pz \u2264 0 = 0.5&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2)=\ud835\udc43(2\u2264\ud835\udc67)=1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22642) = 1-0.9772=0.0228&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651.55) = 1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641.55)= 1-0.9394 = 0,0606<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(-2\u2264\ud835\udc67\u22641.55) = \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641.55)-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2) = 0.9394-0.0228 = 0.9166<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2737\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Berechnung des Prozentsatzes au\u00dferhalb der Toleranz&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Wie bei der Festlegung der Eigenschaften der Normalverteilung angesprochen, ist die Normalverteilung vollst\u00e4ndig charakterisiert, sobald ihr Mittelwert und ihre Standardabweichung bekannt sind. Im Einzelnen :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Rund 68,27% der Beobachtungen lagen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Etwa 95,45% der Beobachtungen lagen innerhalb von zwei Standardabweichungen des Mittelwerts.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Etwa 99,73% der Beobachtungen lagen innerhalb von drei Standardabweichungen des Mittelwerts.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Diese Prozents\u00e4tze beschreiben, wie die Daten in einer Normalverteilung um den Mittelwert herum verteilt sind, und liefern wertvolle Hinweise auf die Streuung der Werte im Vergleich zum Mittelwert.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Um jedoch den Prozentsatz der Elemente au\u00dferhalb der tolerierten Grenzen in einer Population genauer zu bewerten, kann man die Berechnung der z-Zahl verwenden.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Die Zahl z wird folgenderma\u00dfen berechnet:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z = \"frac\" (frustriert) ************<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Er stellt die Messung in Form von Standardabweichungen zwischen dem Mittelwert der Stichprobe und der Toleranzgrenze dar.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Sobald die Zahl z bestimmt ist, kann man den Prozentsatz der Elemente au\u00dferhalb der Toleranz mithilfe der Gau\u00df-Tabelle oder der Tabelle der reduzierten zentrierten Normalverteilung berechnen. Mithilfe dieser Tabelle l\u00e4sst sich der Anteil der Werte jenseits eines bestimmten Abstands (dargestellt durch die Zahl z) vom Mittelwert in einer Normalverteilung finden, was bei der Einsch\u00e4tzung des Prozentsatzes der Elemente au\u00dferhalb der tolerierten Grenzen hilft.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><br><strong>Beispiel:&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Finde den Gesamtprozentsatz au\u00dferhalb der Toleranz, wobei der mittlere Durchmesser \u00b5=10.1mm und die Standardabweichung \u03c3=0.5mm ist und das Toleranzintervall IT=[9; 11] betr\u00e4gt.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Berechnen wir den z<sub>min<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_min = \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap \\rap = 2.2<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Daraus wird der Prozentsatz der Teile au\u00dferhalb der min-Toleranz in der Gau\u00df-Tabelle abgeleitet:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT min = 100% - 98.61% = 1.39%<\/p>\n\n\n\n<p>Berechnen wir den z<sub>max<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_max = \\c&amp;Fresh{mu-text}{toleranz} = \\c&amp;Fresh{10.1-11}{0.5} = 1.8<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Daraus wird der Prozentsatz der Teile au\u00dferhalb der Toleranz max in der Gau\u00df-Tabelle abgeleitet :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT max =100%-98,61% = 3.59%<\/p>\n\n\n\n<p>Man zieht also den gesamten Prozentsatz au\u00dferhalb der Toleranz ab :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT= % HTmin +% HTmax<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT = 1.39%+3.59%\u22485%<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2738\"\/><\/figure><\/div>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2732","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.9 - 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