{"id":2732,"date":"2024-10-17T11:04:40","date_gmt":"2024-10-17T09:04:40","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2732"},"modified":"2024-10-24T16:50:22","modified_gmt":"2024-10-24T14:50:22","slug":"leyes-de-la-probabilidad","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/es\/recurso-educativo\/leyes-de-la-probabilidad\/","title":{"rendered":"Ley normal"},"content":{"rendered":"<p>En estad\u00edstica, la ley normal (o distribuci\u00f3n normal) es una de las distribuciones de probabilidad m\u00e1s importantes y utilizadas. Tambi\u00e9n se conoce como ley natural o distribuci\u00f3n de Gauss, en honor del matem\u00e1tico <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Carl_Friedrich_Gauss\">Carl Friedrich Gauss<\/a> que estudi\u00f3 en detalle sus propiedades.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>La distribuci\u00f3n normal se caracteriza por su forma de campana sim\u00e9trica, lo que significa que la mayor\u00eda de los valores se agrupan en torno a la media y que los valores se alejan de la media a medida que aumentan o disminuyen. La distribuci\u00f3n normal viene definida por dos par\u00e1metros:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Media (\u00b5): Es el centro de la campana y representa el valor en torno al cual se agrupan los dem\u00e1s valores. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Desviaci\u00f3n t\u00edpica (\u03c3): Es una medida de la dispersi\u00f3n de los valores en relaci\u00f3n con la media. Cuanto mayor sea la desviaci\u00f3n t\u00edpica, mayor ser\u00e1 la dispersi\u00f3n de los valores. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La funci\u00f3n de densidad de probabilidad de la distribuci\u00f3n normal viene dada por la siguiente f\u00f3rmula matem\u00e1tica para una variable aleatoria :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2\\sigma^{2}}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Esta distribuci\u00f3n tiene varias propiedades importantes:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Simetr\u00eda: La distribuci\u00f3n es sim\u00e9trica respecto a su media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Forma de campana: la mayor\u00eda de los valores est\u00e1n cerca de la media, y la probabilidad de valores extremos disminuye r\u00e1pidamente a medida que uno se aleja de la media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>68-95-99,7 Regla: Aproximadamente 68% de los valores est\u00e1n dentro de una desviaci\u00f3n t\u00edpica de la media, 95% dentro de dos desviaciones t\u00edpicas y 99,7% dentro de tres desviaciones t\u00edpicas.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La distribuci\u00f3n normal se utiliza en muchos \u00e1mbitos de la estad\u00edstica, como la inferencia estad\u00edstica, la modelizaci\u00f3n y la comprobaci\u00f3n de hip\u00f3tesis, debido a sus conocidas propiedades matem\u00e1ticas y a su frecuencia de aparici\u00f3n en muchos fen\u00f3menos naturales y experimentales.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2733\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Distribuci\u00f3n normal reducida<\/h2>\n\n\n\n<p>La distribuci\u00f3n \"normal reducida centrada\" se refiere a una distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar, es decir, una distribuci\u00f3n normal con una media de 0 y una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 1. Es una de las distribuciones m\u00e1s utilizadas en estad\u00edstica.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Cualquier variable normal puede transformarse en una normal centrada reducida restando la media de la variable y dividi\u00e9ndola por la desviaci\u00f3n t\u00edpica. Esta normalizaci\u00f3n es \u00fatil para comparar variables que inicialmente pueden tener unidades o escalas diferentes. Tambi\u00e9n simplifica los c\u00e1lculos en muchos contextos estad\u00edsticos.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Para una variable aleatoria X que sigue una distribuci\u00f3n normal con media \u03bc y desviaci\u00f3n t\u00edpica \u03c3. La normalizaci\u00f3n de X para obtener la normal centrada reducida (a menudo denominada Z) se realiza mediante la f\u00f3rmula :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>El valor de Z representa el n\u00famero de desviaciones est\u00e1ndar de la media. Puede ser positivo o negativo.&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-11.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2735\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Un valor de Z=2 significa que este punto est\u00e1 por encima de la media \u00b5 y el desplazamiento respecto a la media es de 2 desviaciones t\u00edpicas \u03c3.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Un valor de Z=-3,5 significa que este punto est\u00e1 por debajo de la media \u00b5 y el desfase con respecto a la media es de 3,5 desviaciones t\u00edpicas \u03c3.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Con esta transformaci\u00f3n, podemos utilizar la tabla de la distribuci\u00f3n normal reducida centrada. Esta tabla se utiliza para determinar los valores de la funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de la distribuci\u00f3n normal F(x) en funci\u00f3n del valor de Z.&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">F(Z)=\\int_{-\\infty }^{Z}\\frac{1}{\\sqrt{2\\Pi}}e^{-\\frac{u^{2}}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Con :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>F(Z) : La funci\u00f3n de distribuci\u00f3n de la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar (o distribuci\u00f3n normal centrada reducida). Es una funci\u00f3n matem\u00e1tica que da la probabilidad de que una variable aleatoria que sigue una distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar sea menor o igual que un valor dado.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc39(\ud835\udc4d)=\ud835\udc43(\ud835\udc67 \u2264 \ud835\udc4d)<\/p>\n\n\n\n<p>El valor de F(Z) est\u00e1 siempre entre 0 y 1, porque es una probabilidad.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Los valores de la funci\u00f3n de distribuci\u00f3n F(Z) para la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar se utilizan en muchas \u00e1reas de la estad\u00edstica para realizar c\u00e1lculos de probabilidad, incluidas las pruebas de hip\u00f3tesis, los intervalos de confianza, la estimaci\u00f3n de la tasa de no conformidad, la estimaci\u00f3n de la fiabilidad del proceso y otros an\u00e1lisis estad\u00edsticos.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La funci\u00f3n de distribuci\u00f3n F(Z) no puede expresarse en t\u00e9rminos de funciones elementales (como polinomios, exponenciales o trigonom\u00e9tricas) y a menudo requiere el uso de tablas estad\u00edsticas o programas inform\u00e1ticos para calcular los valores de probabilidad asociados a valores espec\u00edficos de Z. En el caso de la distribuci\u00f3n normal, se utilizar\u00e1 la tabla de distribuci\u00f3n normal centrada reducida, tambi\u00e9n conocida como tabla Z, para calcular F(Z) :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image.jpeg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2736\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Ejemplo:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Halla los valores de las siguientes probabilidades utilizando la distribuci\u00f3n normal:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651.55), \ud835\udc43(-2\u2264 \ud835\udc67 \u22641.55)&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">Probabilidad&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640) = 0,5Pz \u2264 0 = 0,5&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2)=\ud835\udc43(2\u2264\ud835\udc67)=1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22642) = 1-0,9772=0,0228&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651.55) = 1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641.55)= 1-0.9394 = 0.0606<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(-2\u2264\ud835\udc67\u22641.55) = \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641.55)-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2) = 0.9394-0.0228 = 0.9166<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2737\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">C\u00e1lculo del porcentaje fuera de tolerancia&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Como se ha comentado al establecer las caracter\u00edsticas de la distribuci\u00f3n normal, \u00e9sta queda totalmente caracterizada en cuanto se conocen su media y su desviaci\u00f3n t\u00edpica. M\u00e1s concretamente :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Alrededor del 68,27% de las observaciones se sit\u00faan dentro de una desviaci\u00f3n t\u00edpica de la media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Alrededor del 95,45% de las observaciones se sit\u00faan dentro de las dos desviaciones t\u00edpicas de la media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Alrededor del 99,73% de las observaciones se sit\u00faan dentro de las tres desviaciones t\u00edpicas de la media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Estos porcentajes describen c\u00f3mo se distribuyen los datos en torno a la media en una distribuci\u00f3n normal, proporcionando informaci\u00f3n valiosa sobre la dispersi\u00f3n de los valores en relaci\u00f3n con la media.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Sin embargo, para evaluar con mayor precisi\u00f3n el porcentaje de elementos fuera de los l\u00edmites tolerados en una poblaci\u00f3n, es posible calcular el n\u00famero z.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>El n\u00famero z se calcula del siguiente modo:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z = \\frac{\\mu-\\text{{tolerancia}}{{sigma}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Representa la medida en t\u00e9rminos de desviaciones est\u00e1ndar entre el valor medio de la muestra y el l\u00edmite de tolerancia.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Una vez determinado el n\u00famero z, es posible calcular el porcentaje de elementos fuera de tolerancia consultando la tabla de Gauss o la tabla de distribuci\u00f3n normal reducida centrada. Esta tabla se utiliza para hallar la proporci\u00f3n de valores m\u00e1s all\u00e1 de una cierta distancia (representada por el n\u00famero z) de la media en una distribuci\u00f3n normal, lo que ayuda a evaluar el porcentaje de elementos fuera de los l\u00edmites tolerados.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><br><strong>Ejemplo:&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Hallar el porcentaje total fuera de tolerancia, dado que el di\u00e1metro medio es \u00b5=10,1mm y la desviaci\u00f3n t\u00edpica \u03c3=0,5mm y el intervalo de tolerancia IT=[9; 11].&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calculemos la z<sub>min<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_{min} = \\frac{\\mu-\\text{tolerancia}{\\sigma} = \\frac{10,1-9}{0,5} = 2,2<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Esto da el porcentaje de piezas fuera de la tolerancia m\u00ednima en la tabla Gauss:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT min = 100% - 98,61% = 1,39%<\/p>\n\n\n\n<p>Calculemos la z<sub>max<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_{max} = \\frac{mu-\\text{tolerancia} {{sigma} = \\frac{10,1-11} {0,5} = 1,8<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>De ello se deduce el porcentaje de piezas fuera de la tolerancia m\u00e1xima en la tabla Gauss:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT m\u00e1x =100%-98,61% = 3,59%<\/p>\n\n\n\n<p>Por lo tanto, el porcentaje total fuera de tolerancia se deduce :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT= % HTmin +% HTmax<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT = 1,39%+3,59%\u22485%<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2738\"\/><\/figure><\/div>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2732","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.9 - 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