{"id":2723,"date":"2024-10-16T15:40:39","date_gmt":"2024-10-16T13:40:39","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2723"},"modified":"2024-10-24T16:48:48","modified_gmt":"2024-10-24T14:48:48","slug":"intervallo-di-confidenza","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/it\/risorsa-educativa\/intervallo-di-confidenza\/","title":{"rendered":"Intervallo di confidenza"},"content":{"rendered":"<p>Un intervallo di confidenza \u00e8 un intervallo plausibile di valori per un parametro statistico, stimato da un campione di dati. D\u00e0 un'idea della precisione della nostra stima del parametro. L'intervallo di confidenza \u00e8 generalmente espresso con un livello di confidenza associato, che rappresenta la probabilit\u00e0 che l'intervallo contenga effettivamente il parametro vero della popolazione.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" src=\"blob:https:\/\/clooma.ai\/5c5f689c-38e0-4233-8b65-b2363db5418e\"><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Media :&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>L'intervallo di confidenza della media \u00e8 un intervallo statistico che fornisce una stima plausibile dell'intervallo entro cui si trova la vera media di una popolazione. Viene costruito utilizzando i dati di un campione di questa popolazione.&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Certamente, la creazione di un intervallo di confidenza per la media \u00e8 possibile grazie al teorema del limite centrale. Per campioni sufficientemente grandi (n\u226530), qualunque sia la forma della distribuzione della popolazione, se vengono presi a caso diversi campioni di dimensione \"n\", le medie di questi campioni <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\left{overline{X} \\\u00b4destra}<\/span> sono approssimativamente distribuiti in modo normale. Ci\u00f2 consente di costruire intervalli di confidenza affidabili per stimare la vera media della popolazione.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La costruzione dell'intervallo di confidenza per la media si basa sull'uso della distribuzione t di Student o della distribuzione normale, a seconda delle dimensioni del campione e della conoscenza della deviazione standard della popolazione.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Poich\u00e9 questo calcolo \u00e8 un'approssimazione, \u00e8 necessario conoscere l'accuratezza di questa approssimazione. In generale, per caratterizzare l'accuratezza di questa approssimazione, calcoliamo l'intervallo a 95%. Questo intervallo corrisponde a :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Intervallo a 95% = Intervallo in cui c'\u00e8 una probabilit\u00e0 di 95% che il vero valore della media della distribuzione si trovi al suo interno.<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>In statistica 95% \u00e8 chiamato intervallo di confidenza (1- \u03b1), complementare al rischio di primo tipo \u03b1=5%. Questo rischio rappresenta la possibilit\u00e0 che il valore della media della distribuzione si trovi al di fuori dell'intervallo di confidenza.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ecco come costruire un intervallo di confidenza per la media:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Calcolare la media e la deviazione standard del campione di dimensione \"n\": utilizzando i dati del campione, calcolare la media e la deviazione standard del campione. <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\\u00b4overline{X}<\/span>&nbsp;e S.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Scelta del livello di confidenza (1- \u03b1): Selezionare un livello di confidenza, spesso espresso in percentuale, come 95% o 99%. Un livello di confidenza di 95% significa che siamo sicuri che l'intervallo costruito conterr\u00e0 la vera media della popolazione.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Determinazione dell'intervallo: utilizzare la formula dell'intervallo di confidenza per la media in base alla distribuzione appropriata (Student o normale):&nbsp;\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se si conosce la deviazione standard della popolazione \ud835\udf0e, utilizzare la distribuzione normale:  \n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">IC = \\overline{X} \\underline{+}Z_{\\frac{a}{2}}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> dove:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z\\frac{2}{a}<\/span> \u00e8 lo z-score corrispondente al livello di confidenza. (Bilaterale)<\/li>\n\n\n\n<li>n: \u00e8 la dimensione del campione.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n<li>Se non si conosce la deviazione standard della popolazione \ud835\udf0e, utilizzare la distribuzione di Student:&nbsp;\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">IC = \\overline{X} \\underline{+}t_{\\frac{a}{2}n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> dove:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t_{rac{a}{2}n-1}<\/span>\u00e8 il punteggio t corrispondente al livello di confidenza e per n-1 gradi di libert\u00e0.&nbsp;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>n: \u00e8 la dimensione del campione.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>L'intervallo di confidenza della media fornisce quindi un intervallo di valori all'interno del quale siamo sicuri, a un certo livello di confidenza (1-\ud835\udefc), che si trovi la vera media della popolazione \u00b5. Pi\u00f9 alto \u00e8 il livello di confidenza, pi\u00f9 ampio sar\u00e0 l'intervallo, riflettendo un maggior grado di fiducia nella stima.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>&nbsp;<\/td><td>Deviazione standard S&nbsp;<\/td><td>Dimensione del campione n&nbsp;<\/td><td>Fiducia (1-\u03b1)&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td>Larghezza dell'intervallo di confidenza della IC media.&nbsp;<\/td><td>L'ampiezza del CI aumenta se aumenta la deviazione standard&nbsp;<\/td><td>L'ampiezza del CI diminuisce con l'aumentare delle dimensioni del campione&nbsp;<\/td><td>L'ampiezza dell'IC aumenta con l'aumentare della fiducia&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Esempio: vogliamo sapere come calcolare l'intervallo di confidenza per il consumo medio di zucchero per famiglia con una confidenza di 95%. \u00c8 stato preso un campione di 18 famiglie. Di seguito \u00e8 riportata la tabella dei risultati:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>5&nbsp;<\/td><td>13&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>5&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>3&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>1&nbsp;<\/td><td>6&nbsp;<\/td><td>14&nbsp;<\/td><td>6&nbsp;<\/td><td>8&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>13&nbsp;<\/td><td>9&nbsp;<\/td><td>5&nbsp;<\/td><td>12&nbsp;<\/td><td>7&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluzione:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calcoliamo la media, la deviazione standard e il numero di gradi di libert\u00e0&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\\u00b4overline{X} = \u00b4frac{5+13+11+5+2+3+2+1+6+14+6+8+2+13+9+5+12+7}{18} = 6,88<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">S = \\sqrt{\\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-\\overline{x})^{2}}{17}} = 4,25<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">n-1 =17<\/p>\n\n\n\n<p>Dalla tabella della legge di Student, o con il software <a href=\"https:\/\/clooma.ai\/it\/soluzioni-per-lanalisi-dei-dati\/\">Analisi dei dati Ellistat<\/a>troviamo il valore t=2,110<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" alt=\"Un&#039;immagine contenente testo, diagramma, screenshot, descrizione della trama generata automaticamente.\" src=\"blob:https:\/\/clooma.ai\/5d36ab4a-a8d2-4d67-a3ed-af71b2dca181\"><\/p>\n\n\n\n<p>Possiamo quindi ricavare il seguente intervallo di confidenza:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\\u00b4overline{X}-t_{\\frac{a}{2};n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}le \u00b4mu\u00b4le \u00b4overline{X}+t_{\\frac{a}{2}n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">6.88-2.110\\ast \\frac{4.25}{\\sqrt{18}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">4,773 \\mu\\le 9,005<\/span><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Varianza \/ Deviazione standard:<\/h2>\n\n\n\n<p>Per costruire un intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione, si utilizza la distribuzione chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>). Sappiamo che la varianza viene stimata con la seguente formula:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">&lt;\/p&gt;\n\n\n\n&lt;p&gt;La formula chi-2 ([latex]x^{2}<\/span> della varianza si scrive come segue :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">X^{2} = \\frac{(n-1)S^{2}}{sigma^{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>La curva della funzione di densit\u00e0 chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>) assomiglia a una distribuzione normale, ma non \u00e8 simmetrica. Soprattutto, la sua forma dipende dal numero di gradi di libert\u00e0. Il grafico sottostante mostra il diagramma della funzione di densit\u00e0 chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>)per un grado di libert\u00e0 di n=4 .&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-9-1024x838.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2728\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Il <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span> pu\u00f2 essere utilizzato per dedurre l'intervallo di confidenza della varianza \ud835\udf0e\u00b2, per un campione di dimensioni n e confidenza 1-\u03b1.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Processo per il calcolo dell'intervallo di confidenza della varianza :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Calcolo della varianza e dei gradi di libert\u00e0: dai dati del campione, calcolare la varianza S\u00b2 e i gradi di libert\u00e0 (n-1).&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Trovare i valori critici del chi-quadro: Trovare i valori critici del chi-quadro <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">X^{2}n-1;\\frac{a}{2}\\text{et}X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}<\/span> per il livello di confidenza e i gradi di libert\u00e0 desiderati. \u00c8 possibile trovare questi valori nelle tabelle di distribuzione \ud835\udf122 o utilizzando Ellistat.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Utilizzare le seguenti formule per determinare l'intervallo di confidenza della varianza:&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>NB: l'intervallo di confidenza della deviazione standard pu\u00f2 essere dedotto in questo modo, ponendo la radice su entrambi i lati.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\sqrt{\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma\\le \\sqrt{\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Esempio: \u00e8 stato prelevato un campione di 10 bombole dalla produzione. Vogliamo avere un'idea della variabilit\u00e0 del processo. Determinare l'intervallo di confidenza della varianza \ud835\udf0e2 per una confidenza di 95% :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>10&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>12&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluzione:&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calcoliamo la deviazione standard S e il numero di gradi di libert\u00e0 :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">S^{2} = \\frac{sum_{1}^{N}(xi-\\overline{x})^{2}}{9} = 0,489<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">n-1=9&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Per un livello di confidenza (1-\u03b1) di 95%, possiamo dedurre i valori dei quantili utilizzati per calcolare l'intervallo di confidenza della varianza:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{\\alfa}{2}=0,025{text{ e } 1-\\frac{\\alfa}{2} = 0,975<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Dalla tabella della legge \ud835\udf122, o con il software Ellistat, \u00e8 possibile trovare il valore di&nbsp;&nbsp;<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\"> X^{2}<em>{9;\\frac{a}{2}}=19.02\\text{ et }X^{2}<\/em>{9;1-\\frac{a}{2}}=2.70<\/span><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2726\"\/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2727\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Possiamo quindi calcolare l'intervallo di confidenza della varianza a un livello di confidenza di 95%.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{9<em>0.489}{19.02}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{9<\/em>0.489}{2.70}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0,231 \\sigma^{2}\\le 1,629<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0,480sigma 1,276<\/span><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Proporzione<\/h2>\n\n\n\n<p>L'intervallo di confidenza di una proporzione \u00e8 un intervallo di valori all'interno del quale si stima che una proporzione di una data popolazione possa trovarsi, con una certa probabilit\u00e0. In altre parole, \u00e8 un intervallo di valori costruito a partire da dati campionari, all'interno del quale si stima che si trovi la vera proporzione della popolazione, con un determinato livello di confidenza.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Esistono vari metodi per calcolare l'intervallo di confidenza di una proporzione in statistica, ma i due pi\u00f9 comunemente utilizzati sono :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Metodo esatto (per campioni di piccole dimensioni).\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Metodo approssimativo (con distribuzione normale)\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Metodo esatto<\/strong>(calcolato utilizzando la distribuzione binomiale)&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Il metodo esatto per calcolare l'intervallo di confidenza di una proporzione si basa sulla distribuzione binomiale e fornisce una soluzione accurata senza le approssimazioni dei metodi asintotici. Questo metodo \u00e8 particolarmente utile per campioni di piccole dimensioni o quando la proporzione osservata (<\/p>\n\n\n\n<p>\ud835\udc5d\u02c6p^<\/p>\n\n\n\n<p>) \u00e8 prossimo a 0 o 1.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ecco i passaggi per calcolare l'intervallo di confidenza esatto per la proporzione:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Fase 1:<\/strong> Calcolare la proporzione osservata sul campione n con k successi.\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc58\ud835\udc5bp^=kn Determinare i limiti dell'intervallo di confidenza .<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Fase 2<\/strong>Calcolare i quantili della distribuzione binomiale. Questi quantili delimitano l'intervallo di confidenza. Per un livello di confidenza di 1-\u03b1, \u00e8 necessario trovare il quantile Q1 al percentile \ud835\udefc2\ud835\udefc2 e poi il quantile Q2 al percentile 1-\ud835\udefc21-\ud835\udefc2 dalla tabella della distribuzione binomiale. Questi quantili possono essere trovati utilizzando le tabelle della distribuzione binomiale o il software Ellistat.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Passo 3: <\/strong>Calcolo dell'intervallo di confidenza: L'intervallo di confidenza viene calcolato con la seguente formula: Calcolare quindi l'intervallo di confidenza [\ud835\udc441\ud835\udc5b;\ud835\udc442\ud835\udc5b][Q1n;Q2n].\u00a0\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>Esempio: supponiamo che, dopo aver prelevato un campione di dimensioni n=20, si siano osservati k=15 pezzi conformi. Calcolare l'intervallo di confidenza esatto della proporzione di pezzi conformi per un livello di confidenza di 95)?&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Soluzione:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La percentuale di parti conformi osservate: \ud835\udc5d\u02c6=1520=0,75p^=1520=0,75<\/p>\n\n\n\n<p>Determinazione di Q1 e Q2, per una proporzione p=0,75 e un campione di 20 persone.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Utilizzando il software Ellistat troviamo: Q1=11 (11 d\u00e0 un \ud835\udefc\/2 pi\u00f9 vicino a 0,025) e Q2=18\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" alt=\"Un&#039;immagine contenente testo, una schermata, un diagramma, una linea generata automaticamenteDescrizione\" src=\"blob:https:\/\/clooma.ai\/452a7f55-c11c-4fc1-a123-de2b51f2efa0\"><\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" alt=\"Un&#039;immagine contenente testo, un diagramma, una linea o una trama generata automaticamenteDescrizione\" src=\"blob:https:\/\/clooma.ai\/ffe282d7-519f-4138-9eff-8e17c09328ca\"><\/p>\n\n\n\n<p>L'intervallo di confidenza della proporzione per una confidenza di 95% \u00e8: [\ud835\udc441\ud835\udc5b;\ud835\udc442\ud835\udc5b]= [1120;1820]Q1n;Q2n= [1120;1820]<\/p>\n\n\n\n<p>\u00c8 importante notare che questo metodo fornisce una soluzione accurata, ma pu\u00f2 essere pi\u00f9 impegnativo dal punto di vista computazionale, soprattutto per campioni di grandi dimensioni, e spesso richiede l'uso di un software statistico per eseguire i calcoli.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Metodo approssimativo (con distribuzione normale)<\/strong>:&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Per costruire un intervallo di confidenza per una proporzione in una popolazione, si utilizza la distribuzione normale se sono soddisfatte le condizioni del teorema del limite centrale. Se un campione di dimensione n viene prelevato da una popolazione che segue la distribuzione binomiale con parametro p, la proporzione calcolata da questo campione \u00e8 p^, dato che: \ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc65\ud835\udc5bp^=xn<\/p>\n\n\n\n<p>Con :&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>x: il numero di successi.\u00a0<\/li>\n\n\n\n<li>n: dimensione del campione.\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La media e la deviazione standard della popolazione sono \ud835\udf07\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d (1-\ud835\udc5d)\ud835\udc5b\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u221a\ud835\udf0ep^=p (1-p)n<\/p>\n\n\n\n<p>Il teorema della centralit\u00e0 vincolata pu\u00f2 essere applicato alla proporzione dei campioni se \ud835\udc5b\u2217\ud835\udc5d\u22655n\u2217p\u22655 e \ud835\udc5b\u2217(1-\ud835\udc5d)\u22655n\u2217(1-p)\u22655. In effetti, questa soluzione \u00e8 particolarmente utile nel caso di campioni di grandi dimensioni o quando le proporzioni osservate non sono vicine a 1 e 0.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>Si pu\u00f2 quindi applicare la formula del punteggio Z: \ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d (1-\ud835\udc5d)\ud835\udc5b\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u221a\ud835\udf0ep^=p (1-p)n<\/p>\n\n\n\n<p>Se0\u2264\ud835\udf07\ud835\udc5d\u02c6\u00b12\ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6\u226410\u2264\ud835\udf07p^\u00b12\ud835\udf0ep^\u22641 , possiamo considerare che \ud835\udc5d\u02c6p^ segue approssimativamente una distribuzione normale.\u00a0\u00a0<\/p>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2723","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.9 - 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