{"id":2732,"date":"2024-10-17T11:04:40","date_gmt":"2024-10-17T09:04:40","guid":{"rendered":"https:\/\/clooma.ai\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2732"},"modified":"2024-10-24T16:50:22","modified_gmt":"2024-10-24T14:50:22","slug":"leggi-della-probabilita","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/clooma.ai\/it\/risorsa-educativa\/leggi-della-probabilita\/","title":{"rendered":"Legge normale"},"content":{"rendered":"<p>In statistica, la legge normale (o distribuzione normale) \u00e8 una delle distribuzioni di probabilit\u00e0 pi\u00f9 importanti e comunemente utilizzate. \u00c8 conosciuta anche come legge naturale o distribuzione gaussiana, in onore del matematico <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Carl_Friedrich_Gauss\">Carl Friedrich Gauss<\/a> che ne ha studiato le propriet\u00e0 in dettaglio.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>La distribuzione normale \u00e8 caratterizzata da una forma a campana simmetrica, il che significa che la maggior parte dei valori si raggruppa intorno alla media e che i valori si allontanano dalla media quando diventano pi\u00f9 grandi o pi\u00f9 piccoli. La distribuzione normale \u00e8 definita da due parametri:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Media (\u00b5): \u00c8 il centro della campana, che rappresenta il valore attorno al quale si raggruppano gli altri valori. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Deviazione standard (\u03c3): \u00c8 una misura della dispersione dei valori rispetto alla media. Maggiore \u00e8 la deviazione standard, maggiore \u00e8 la dispersione dei valori. <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0 della distribuzione normale \u00e8 data dalla seguente formula matematica per una variabile casuale :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^{2}}{2\\sigma^{2}}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Questa distribuzione ha diverse propriet\u00e0 importanti:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Simmetria: la distribuzione \u00e8 simmetrica rispetto alla media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Forma a campana: la maggior parte dei valori \u00e8 vicina alla media e la probabilit\u00e0 di valori estremi diminuisce rapidamente man mano che ci si allontana dalla media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>68-95-99,7 Regola: circa 68% dei valori rientrano in una deviazione standard della media, 95% in due deviazioni standard e 99,7% in tre deviazioni standard.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La distribuzione normale \u00e8 utilizzata in molte aree della statistica, tra cui l'inferenza statistica, la modellizzazione e i test di ipotesi, grazie alle sue note propriet\u00e0 matematiche e alla sua frequenza in molti fenomeni naturali e sperimentali.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-10.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2733\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Distribuzione normale ridotta<\/h2>\n\n\n\n<p>La distribuzione \"normale ridotta centrata\" si riferisce a una distribuzione normale standard, cio\u00e8 una distribuzione normale con una media di 0 e una deviazione standard di 1. \u00c8 una delle distribuzioni pi\u00f9 comunemente utilizzate in statistica.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Qualsiasi variabile normale pu\u00f2 essere trasformata in una normale centrata ridotta sottraendo la media della variabile e dividendola per la deviazione standard. Questa normalizzazione \u00e8 utile per confrontare variabili che inizialmente possono avere unit\u00e0 o scale diverse. Inoltre, semplifica i calcoli in molti contesti statistici.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Per una variabile casuale X che segue una distribuzione normale con media \u03bc e deviazione standard \u03c3. La normalizzazione di X per ottenere la normale ridotta centrata (spesso nota come Z) viene effettuata utilizzando la formula :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Il valore di Z rappresenta il numero di deviazioni standard dalla media. Pu\u00f2 essere positivo o negativo.&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-11.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2735\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Un valore di Z=2 significa che questo punto si trova al di sopra della media \u00b5 e che lo scostamento dalla media \u00e8 di 2 deviazioni standard \u03c3.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Un valore di Z=-3,5 significa che questo punto \u00e8 al di sotto della media \u00b5 e che lo scostamento dalla media \u00e8 di 3,5 deviazioni standard \u03c3.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Con questa trasformazione, possiamo utilizzare la tabella della distribuzione normale ridotta centrata. Questa tabella \u00e8 utilizzata per determinare i valori della funzione di distribuzione della distribuzione normale F(x) in funzione del valore di Z.&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">F(Z)=\\int_{-\\infty }^{Z}\\frac{1}{\\sqrt{2\\Pi}}e^{-\\frac{u^{2}}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Con :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>F(Z) : La funzione di distribuzione della distribuzione normale standard (o distribuzione normale ridotta centrata). \u00c8 una funzione matematica che fornisce la probabilit\u00e0 che una variabile casuale che segue una distribuzione normale standard sia minore o uguale a un determinato valore.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc39(\ud835\udc4d)=\ud835\udc43(\ud835\udc67 \u2264 \ud835\udc4d)<\/p>\n\n\n\n<p>Il valore di F(Z) \u00e8 sempre compreso tra 0 e 1, perch\u00e9 si tratta di una probabilit\u00e0.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>I valori della funzione di distribuzione F(Z) per la distribuzione normale standard sono utilizzati in molte aree della statistica per eseguire calcoli di probabilit\u00e0, tra cui test di ipotesi, intervalli di confidenza, stima del tasso di non conformit\u00e0, stima dell'affidabilit\u00e0 del processo e altre analisi statistiche.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La funzione di distribuzione F(Z) non pu\u00f2 essere espressa in termini di funzioni elementari (come polinomi, esponenziali o trigonometrici) e spesso richiede l'uso di tabelle statistiche o di software informatici per calcolare i valori di probabilit\u00e0 associati a specifici valori di Z. Nel caso della distribuzione normale, per calcolare F(Z) si utilizzer\u00e0 la tabella di distribuzione normale a centro ridotto, nota anche come tabella Z:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image.jpeg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2736\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Esempio:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Trovare i valori delle seguenti probabilit\u00e0 utilizzando la distribuzione normale:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2), \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651,55), \ud835\udc43(-2\u2264 \ud835\udc67 \u22641,55)&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Soluzione:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">Probabilit\u00e0&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22640) = 0,5Pz \u2264 0 = 0,5&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2)=\ud835\udc43(2\u2264\ud835\udc67)=1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22642) = 1-0,9772=0,0228&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22651,55) = 1-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641,55)= 1-0,9394 = 0,0606<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\">\ud835\udc43(-2\u2264\ud835\udc67\u22641,55) = \ud835\udc43(\ud835\udc67\u22641,55)-\ud835\udc43(\ud835\udc67\u2264-2) = 0,9394-0,0228 = 0,9166<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-12.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2737\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Calcolo della percentuale di fuori tolleranza&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>Come discusso quando si stabiliscono le caratteristiche della distribuzione normale, essa \u00e8 completamente caratterizzata non appena si conoscono la sua media e la sua deviazione standard. Pi\u00f9 precisamente:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Circa 68,27% delle osservazioni rientrano in una deviazione standard della media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Circa il 95,45% delle osservazioni rientra in due deviazioni standard della media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Circa il 99,73% delle osservazioni rientra in tre deviazioni standard della media.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Queste percentuali descrivono la distribuzione dei dati intorno alla media in una distribuzione normale, fornendo informazioni preziose sulla dispersione dei valori rispetto alla media.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Tuttavia, per valutare con maggiore precisione la percentuale di elementi al di fuori dei limiti tollerati in una popolazione, \u00e8 possibile calcolare il numero z.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Il numero z viene calcolato come segue:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z = \\frac{\\mu-text{tolleranza}}{{sigma}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Rappresenta la misura in termini di deviazioni standard tra il valore medio del campione e il limite di tolleranza.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Una volta determinato il numero z, \u00e8 possibile calcolare la percentuale di elementi fuori tolleranza facendo riferimento alla tabella di Gauss o alla tabella di distribuzione normale ridotta centrata. Questa tabella serve a trovare la percentuale di valori che si trovano oltre una certa distanza (rappresentata dal numero z) dalla media in una distribuzione normale, il che aiuta a valutare la percentuale di elementi al di fuori dei limiti tollerati.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><br><strong>Esempio:&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Trovare la percentuale totale di fuori tolleranza, dato che il diametro medio \u00e8 \u00b5=10,1 mm e la deviazione standard \u03c3=0,5 mm e l'intervallo di tolleranza IT=[9; 11].&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calcoliamo il valore z<sub>min<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_{min} = \\frac{\\mu-\\text{tolleranza}}{\\sigma} = \\frac{10,1-9}{0,5} = 2,2<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Questo fornisce la percentuale di pezzi al di fuori della tolleranza minima nella tabella gaussiana:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT min = 100% - 98,61% = 1,39%<\/p>\n\n\n\n<p>Calcoliamo il valore z<sub>massimo<\/sub>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z_{max} = \\frac{mu-testo{tolleranza}}{sigma} = \\frac{10,1-11}{0,5} = 1,8<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Da questo si pu\u00f2 dedurre la percentuale di pezzi fuori tolleranza massima nella tabella Gauss:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT max =100%-98,61% = 3,59%<\/p>\n\n\n\n<p>La percentuale totale di fuori tolleranza viene quindi dedotta :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT= % HTmin +% HTmax<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">% HT = 1,39%+3,59%\u22485%<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/clooma.ai\/wp-content\/uploads\/image-13.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2738\"\/><\/figure><\/div>","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2732","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v25.9 - 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